math-foundations

Vectors & Matrices

Vector là mũi tên, ma trận là máy biến hình

Độ khóbeginner

1Thử đoán1/8

Bạn vẽ một mũi tên chỉ về phía đông bắc, rồi nhân nó với một bảng 4 số xếp vuông 2x2. Chuyện gì có thể xảy ra với mũi tên?

2Hiểu bằng hình ảnh2/8

Vector là mũi tên. Ma trận biến đổi mũi tên.

Bạn vẽ một mũi tên trên giấy ô vuông, gốc đặt tại O, ngọn chỉ về một điểm bất kỳ. Hai con số [a, b] cho biết mũi tên đi sang phải bao nhiêu và lên trên bao nhiêu. Mũi tên có hai số như vậy được gọi là vector. Vậy thôi. Không có gì phức tạp.

Bây giờ thêm một bảng 4 ô vuông. Bỏ một mũi tên vào bảng đó, mũi tên khác chui ra. Mũi tên mới có thể bị xoay, kéo dài, lật gương, hay nghiêng đi. Bảng 4 số ấy gọi là ma trận 2x2. Nói cách khác, ma trận là một chiếc máy biến hình. Bài này bạn sẽ tự tay chơi với cái máy đó.

Vector

Một mũi tên. Hai số: sang phải bao nhiêu, lên trên bao nhiêu.

Ma trận

Bảng số 2x2. Một máy biến hình. Bỏ mũi tên vào, mũi tên khác ra.

Dữ liệu là mũi tên. Mô hình là chuỗi ma trận biến đổi mũi tên từ đầu vào sang câu trả lời.

3Khám phá3/8

Hình minh họa

Sân chơi 1: Kéo hai mũi tên, xem chúng đồng ý đến đâu

Kéo đầu mũi tên xanh (a) hoặc đỏ (b). Thanh tích vô hướng cho bạn biết hai mũi tên đang cùng hướng (số dương), vuông góc (bằng 0), hay ngược hướng (số âm).

Thành phần hiện tại

a = [2.0, 1.0]độ dài 2.24

b = [1.0, 2.0]độ dài 2.24

Tích vô hướng a · b

2.0 × 1.0 + 1.0 × 2.0 = 4.00

Độ tương đồng cosine

0.80Hơi cùng hướng

-1 ngược0 vuông góc+1 cùng hướng

Thử nhanh

Kéo hai mũi tên sao cho chúng chỉ cùng một hướng. Bạn sẽ thấy cosine gần +1. Kéo chúng vuông góc, cosine rơi về 0. Kéo ngược hướng, cosine rơi về -1.

Sân chơi 2: Cho ngôi nhà chui qua máy biến hình 2x2

Đây là một ngôi nhà nhỏ làm từ 5 điểm. Gõ 4 con số vào ma trận, hoặc bấm một preset, rồi xem ngôi nhà và lưới nền biến đổi tức thì. Mỗi con số bạn gõ vào sẽ kéo cả không gian theo.

Ma trận biến đổi M

[

]

Hai cột của ma trận chính là nơi vector đơn vị e₁ và e₂ sẽ bay đến sau phép biến đổi.

Hoặc thử một preset

Mẹo đọc ma trận

Cột thứ nhất của ma trận (a, c) cho biết vector (1, 0) sẽ bay đến đâu. Cột thứ hai (b, d) cho biết vector (0, 1) sẽ bay đến đâu. Biết hai cột là biết mọi thứ, vì mọi vector khác đều là tổ hợp của hai cột ấy.

Sân chơi 3: Cộng hai vector, nhân vector với một số

Dùng thanh trượt để điều chỉnh u, v và hằng số nhân. Mũi tên tổng u + v đi theo quy tắc đầu-đuôi: đặt đuôi của v vào ngọn của u, rồi vẽ một mũi tên mới từ gốc tới ngọn cuối.

u · trục x2.0

u · trục y0.0

v · trục x0.0

v · trục y2.0

Nhân u với hằng số k1.0

k âm lật ngược. k = 0 co về gốc. k > 1 kéo dài.

Quy tắc cộng vector: [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]. Cộng từng chiều độc lập. Hiện tại: u + v = [2.0 + 0.0, 0.0 + 2.0] = [2.0, 2.0].

4Đi sâu4/8

Bạn vừa nghịch ba thao tác cơ bản: cộng vector, nhân vô hướng, tích vô hướng. Giờ hãy tách ra từng bước để hiểu kỹ từng phép.

Bước 1: Cộng vector

Cộng vector = cộng từng thành phần. Ví dụ: [2, 1] + [1, 3] = [2+1, 1+3] = [3, 4]. Hình học: đặt đuôi của vector thứ hai vào ngọn của vector thứ nhất, vẽ mũi tên từ gốc tới ngọn cuối.

[2, 1]

[1, 3]

[3, 4]

Ứng dụng: khi bạn di chuyển trong game, mỗi frame cộng vector vận tốc vào vị trí hiện tại. Đó chính là phép cộng vector.

5Aha và thử thách5/8

Mỗi model AI bạn biết (ChatGPT, Google Photos, Spotify), bên trong chỉ là chuỗi ma trận nhân với vector. Dữ liệu (ảnh, từ, bài hát) được biến thành vector. Model là hàng trăm ma trận nối tiếp. Kết quả là một vector mới, ta đọc ra câu trả lời. Toàn bộ AI hiện đại chỉ dùng hai ý tưởng này.

Bạn có vector u = [3, 4] và muốn tính 2·u. Đáp án là?

Trước khi kéo thử: ma trận M = [[0, -1], [1, 0]] nhân với vector [1, 0] sẽ ra gì? (Gợi ý: cột 1 của M cho biết [1, 0] bay đến đâu.)

Hai vector [3, 0] và [0, 5] có tích vô hướng bằng bao nhiêu? Và chúng tạo với nhau góc gì?

6Giải thích6/8

Giải thích

Bây giờ bạn đã thấy vector và ma trận hoạt động ra sao. Phần này đóng gói lại thành ngôn ngữ toán, kèm hình dung song song, để con số không biến lại thành mớ rối.

Công thức tích vô hướng (một trong hai công thức duy nhất của bài)

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

Nói bằng tiếng Việt: “nhân cặp đầu, nhân cặp sau, cộng hai tích lại”. Kết quả là một con số duy nhất cho biết hai mũi tên đang đồng ý (dương lớn), vuông góc (bằng 0), hay phản đối (âm).

Tích vô hướng > 0

Hai mũi tên cùng hướng. Spotify gợi ý: hai bài hát giống nhau.

Tích vô hướng = 0

Vuông góc. Không liên quan nhau. Chẳng nói gì được về nhau.

Tích vô hướng < 0

Ngược hướng. Ví dụ: “thích rock” và “ghét rock” là hai vector đối nghịch.

Công thức nhân ma trận với vector (công thức thứ hai, và là công thức cuối)

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix}

Nói bằng tiếng Việt: “thành phần mới = hàng trên chấm với vector, hàng dưới chấm với vector”. Nói cách khác, mỗi thành phần mới là một tích vô hướng. Ma trận thực chất chỉ là “hai tích vô hướng đóng gói lại”.

Nhìn ma trận qua hai cột

Một ma trận 2x2 có hai cột. Cột đầu nói cho bạn biết vector (1, 0) bay đến đâu. Cột sau nói cho biết vector (0, 1) bay đến đâu. Mọi vector khác đều là tổ hợp của hai vector này, nên biết hai cột tức là biết toàn bộ phép biến đổi. Đó là mẹo đọc ma trận của 3Blue1Brown.

Bốn ma trận phổ biến

Xoay 90° ngược kim đồng hồ[[0, -1], [1, 0]]

(1, 0) bay đến (0, 1). (0, 1) bay đến (-1, 0).

Phóng to 2 lần[[2, 0], [0, 2]]

Cả hai chiều nhân 2. Ảnh to gấp đôi.

Lật gương ngang[[-1, 0], [0, 1]]

Chiều x lật dấu. Ảnh lật trái-phải.

Nghiêng sang phải[[1, 1], [0, 1]]

Điểm trên bị đẩy sang phải. Như chữ italic.

Ma trận đơn vị, vai trò 'không làm gì'

Ma trận [[1, 0], [0, 1]] đóng vai “số 1” của thế giới ma trận. Nhân vector với nó, vector giữ nguyên. Ma trận này xuất hiện nhiều nơi trong AI. Ví dụ, mạng nơ-ron có một thủ thuật tên là residual connection, về cơ bản là cộng thêm một ma trận đơn vị để thông tin không bị mất.

Từ 2D sang hàng nghìn chiều

Mọi thứ bạn vừa học ở 2D (vector có 2 số, ma trận có 4 ô) mở rộng thẳng lên nhiều chiều. Trong GPT-4, mỗi từ trở thành một vector 12.288 chiều, và các ma trận bên trong có kích thước 12.288 × 12.288. Quy tắc vẫn đúng: nhân từng cặp rồi cộng. Chỉ khác duy nhất ở số lượng. Chiều nào cũng gấp hàng nghìn lần so với 2D.

GPU là phần cứng nhân ma trận

Bạn có bao giờ thắc mắc vì sao NVIDIA trở thành công ty nghìn tỉ đô nhờ AI? GPU ban đầu được thiết kế để xử lý đồ hoạ 3D, mà 3D chỉ là hàng triệu phép nhân ma trận mỗi giây. Khi AI bùng nổ, người ta phát hiện huấn luyện mạng nơ-ron cũng chỉ là nhân ma trận liên tục. Cùng một phần cứng, cùng một phép toán, chỉ khác mục đích.

7Tóm tắt7/8

Năm điều cần nhớ về vector và ma trận

Vector = mũi tên trong không gian. Hai số [a, b] cho biết sang phải bao nhiêu, lên trên bao nhiêu.
Cộng vector = cộng từng cặp thành phần. Nhân với số k = kéo dài hoặc rút ngắn mũi tên k lần.
Tích vô hướng = nhân cặp rồi cộng. Dương: cùng hướng. Bằng 0: vuông góc. Âm: ngược hướng.
Ma trận 2x2 = 4 số gói gọn một phép biến đổi cả không gian. Hai cột cho biết vector cơ sở bay đến đâu.
Mọi model AI (ChatGPT, Spotify, Google Photos) bên trong chỉ là chuỗi ma trận nhân với vector. Chỉ khác nhau ở số chiều.

Xem ứng dụng thực tế

Google Photos dùng toán này để tìm tất cả ảnh bà ngoại trong thư viện hàng nghìn tấm, chỉ từ một từ khoá. Xem tiếp: Vector trong tìm kiếm ảnh. Nếu muốn học tiếp về toán, hãy thử Phân tích thành phần chính (PCA). Đó là cách rút gọn 100 con số xuống còn 2 mà vẫn giữ được câu chuyện chính.

8Kiểm tra8/8

Kiểm tra hiểu biết

Câu 1/6

Vector [3, 4] trong mặt phẳng đại diện cho mũi tên từ gốc O đi tới điểm nào?

Chủ đề liên quan

Eigendecomposition & PCA: PCA: tìm trục chính của dữ liệu Word Embeddings: Word Embeddings - Biểu diễn từ dạng vector Neural Network Overview: Mạng nơ-ron: bộ não nhỏ trong máy tính